Integracion con condiciones iniciales

Hemos dicho que la ecuación y =∫f(x)dx admite infinitas soluciones que difieren en una constante.

Esto significa que las gráficas de dos primitivas cualesquiera de f son traslaciones verticales una de la otra.

Por ejemplo, en la figura de la izquierda mostramos varias gráficas de primitivas de la forma:

y =∫(3x2 −1)dx = − x3 x + C (solución general) .

Para diversos valores enteros de C. Cada una de esas primitivas es una solución de la ecuación

dy/dx = 3x2 −1. Una solución particular de esta ecuación será una única primitiva, es decir, conocemos el valor de la constante C.

En muchas aplicaciones de la integración, hay información suficiente como para conocer este valor

particular de C. Esta información se llama condición inicial (que abreviamos como c.i.), nombre debido al hecho que en las aplicaciones, generalmente la variable independiente es el tiempo t.

Por ejemplo, en el caso anterior, una c.i. sería que la curva debe pasar por el punto (2, 4). Para hallar esta curva en particular, usamos la información:

F(x) = x3 – x +C (solución general)

F(2) = 4 (condición inicial)

Resulta que C = -2, como puede deducirse fácilmente.